🪐 Gravitazione

👋 Benvenuto — come funziona questa app

Un percorso interattivo per capire la gravitazione, dalle leggi di Keplero alla relatività di Einstein.

🎯 A cosa serve

Serve a imparare facendo: ogni concetto è accompagnato da un'animazione che puoi manipolare in tempo reale e da esercizi che ti guidano passo passo. Non devi installare nulla — funziona in qualsiasi browser.

🧭 Com'è organizzata

Nella barra in alto trovi cinque sezioni tematiche, pensate per essere seguite in ordine:

  1. 🔭 Keplero — le tre leggi che descrivono le orbite
  2. 🍎 Newton — la legge di gravitazione universale
  3. 🌍 Campo g — il campo gravitazionale e il suo andamento
  4. 🚀 Energia & fuga — energia potenziale e velocità di fuga
  5. 🛰️ Satelliti — velocità orbitale e periodo

Ogni sezione è divisa in quattro sotto-schede:

📖
Teoriaspiegazioni, formule ed esempi
🔬
Simulazioneanimazioni interattive "Prova tu"
✏️
Eserciziproblemi guidati con suggerimenti
❓
Quizdomande con risposta immediata

Alla fine, la scheda 🏆 Quiz Finale raccoglie 20 domande da tutti gli argomenti: le risposte e le correzioni compaiono solo al termine.

💡 Come usarla al meglio

  • Segui l'ordine delle sezioni: ognuna prepara alla successiva.
  • In ciascuna: leggi la Teoria, apri la Simulazione e muovi i cursori, poi consolida con Esercizi e Quiz.
  • Usa il menu “Carica” nelle simulazioni per inserire i dati reali dei pianeti (li trovi in fondo a questa pagina).
  • Attiva il tema scuro con 🌙 in alto a destra: riposa gli occhi di sera e risparmia energia sugli schermi OLED.
  • Chiudi con il Quiz Finale per una verifica complessiva di ciò che hai imparato.

Dalla mela alla Luna: la gravitazione

Perché i pianeti girano intorno al Sole? Perché la Luna non cade sulla Terra — o forse sta cadendo? La gravitazione è la forza che governa il moto dei corpi celesti e, allo stesso tempo, fa cadere una mela. Newton capì che è la stessa forza.

Seguiremo il percorso storico: prima le tre leggi di Keplero (che descrivono come si muovono i pianeti), poi la legge di gravitazione universale di Newton (che spiega il perché), infine la dinamica: campo gravitazionale, energia, satelliti.

💡 In ogni sezione trovi una zona "Prova tu": avvia l'animazione, muovi i cursori e osserva orbite e forze cambiare in tempo reale. Poi mettiti alla prova con i quiz.

Costanti utili

Costante \(G\)\(6{,}674\cdot 10^{-11}\) \(\mathrm{N\cdot m^{2}/kg^{2}}\)
Massa Sole\(1{,}99\cdot 10^{30}\) \(\mathrm{kg}\)
Massa Terra\(5{,}97\cdot 10^{24}\) \(\mathrm{kg}\)
Raggio Terra\(6{,}37\cdot 10^{6}\) \(\mathrm{m}\)
1 UA\(1{,}50\cdot 10^{11}\) \(\mathrm{m}\)
\(g\) superficie\(9{,}81\) \(\mathrm{m/s^{2}}\)

Dati reali dei pianeti

I pianeti del Sistema Solare

Carica questi valori nelle simulazioni con il menu “Carica” presente in ogni sezione. \(a\) = semiasse orbitale, \(e\) = eccentricità, \(T\) = periodo di rivoluzione.

Pianeta\(a\) (UA)\(e\)\(T\) (anni)Massa (\(M_{\oplus}\))Raggio (\(R_{\oplus}\))\(g\) (\(\mathrm{m/s^{2}}\))
Mercurio\(0{,}39\)\(0{,}206\)\(0{,}24\)\(0{,}055\)\(0{,}38\)\(3{,}7\)
Venere\(0{,}72\)\(0{,}007\)\(0{,}62\)\(0{,}815\)\(0{,}95\)\(8{,}9\)
Terra\(1{,}00\)\(0{,}017\)\(1{,}00\)\(1{,}000\)\(1{,}00\)\(9{,}8\)
Marte\(1{,}52\)\(0{,}093\)\(1{,}88\)\(0{,}107\)\(0{,}53\)\(3{,}7\)
Giove\(5{,}20\)\(0{,}048\)\(11{,}86\)\(317{,}8\)\(11{,}21\)\(24{,}8\)
Saturno\(9{,}54\)\(0{,}054\)\(29{,}4\)\(95{,}2\)\(9{,}45\)\(10{,}4\)
Urano\(19{,}2\)\(0{,}047\)\(84{,}0\)\(14{,}5\)\(4{,}01\)\(8{,}7\)
Nettuno\(30{,}1\)\(0{,}009\)\(164{,}8\)\(17{,}1\)\(3{,}88\)\(11{,}0\)

Verifica la 3ª legge di Keplero: per ogni pianeta \(T^{2} \approx a^{3}\) (con \(T\) in anni e \(a\) in UA).

📜 Breve storia della gravitazione

Dalla Terra piatta ai buchi neri: duemila anni di domande sulla forza che governa l'Universo.

~ 350 a.C. Aristotele

Sostiene che i corpi pesanti cadono più velocemente di quelli leggeri. La Terra è immobile al centro dell'Universo. Domina il pensiero per quasi 2000 anni.

1543 Niccolò Copernico

Propone il modello eliocentrico: i pianeti orbitano intorno al Sole, non attorno alla Terra. Rivoluzione silenziosa — pubblica il De Revolutionibus in punto di morte.

1604 – 1638 Galileo Galilei

Con esperimenti sui piani inclinati e il cannocchiale, dimostra che tutti i corpi cadono con la stessa accelerazione (confutando Aristotele) e che i pianeti non sono perfetti — la Luna ha montagne. Scopre le lune di Giove.

1609 – 1619 Giovanni Keplero

Analizzando i dati precisi di Tycho Brahe, ricava le tre leggi empiriche: le orbite sono ellissi, il raggio vettore spazza aree uguali in tempi uguali, \(T^{2} \propto a^{3}\). La descrizione senza la spiegazione.

1687 Isaac Newton

Nei Principia Mathematica formula la legge di gravitazione universale \(F = Gm_1m_2/r^2\) e dimostra che spiega le leggi di Keplero. La stessa forza fa cadere la mela e tiene la Luna in orbita. Unificazione rivoluzionaria.

1798 Henry Cavendish

Misura per la prima volta la costante \(G = 6{,}674 \cdot 10^{-11}\,\text{N·m}^2/\text{kg}^2\) con una bilancia di torsione. "Pesa la Terra": calcola la massa del pianeta da \(G\) noto.

1915 Albert Einstein

La Relatività Generale descrive la gravità non come forza ma come curvatura dello spazio-tempo causata dalla massa. Predice: precessione di Mercurio ✓, deflessione della luce ✓ (1919), onde gravitazionali ✓ (rilevate nel 2015).

Teoria

🔭 Le tre leggi di Keplero

All'inizio del '600 Keplero, analizzando le osservazioni di Tycho Brahe, ricavò tre leggi empiriche sul moto dei pianeti attorno al Sole.

1ª legge — legge delle orbite (1609)

Ogni pianeta percorre un'orbita ellittica di cui il Sole occupa uno dei due fuochi.

L'ellisse è caratterizzata dal semiasse maggiore \(a\) e dall'eccentricità \(e\) (\(0 \le e < 1\)): con \(e = 0\) l'ellisse è una circonferenza. I punti notevoli sono il perielio (più vicino al Sole) e l'afelio (più lontano):

rperielio = a (1 − e)  ·  rafelio = a (1 + e)

2ª legge — legge delle aree (1609)

Il raggio vettore Sole–pianeta spazza aree uguali in tempi uguali: la velocità areolare è costante.

ΔA / Δt = costante

Conseguenza: il pianeta è più veloce al perielio e più lento all'afelio. Questo equivale alla conservazione del momento angolare:

vperielio · rperielio = vafelio · rafelio

3ª legge — legge dei periodi (1619)

Il quadrato del periodo di rivoluzione è proporzionale al cubo del semiasse maggiore. Per tutti i pianeti dello stesso sistema il rapporto è costante:

T² / a³ = costante  ⇒  T² = (4π² / G M) · a³
📐 Con \(a\) in unità astronomiche (UA) e \(T\) in anni, per il Sistema Solare vale la forma semplice \(T^{2} = a^{3}\). Es.: Marte ha \(a = 1{,}52\,\text{UA} \Rightarrow T = \sqrt{1{,}52^{3}} \approx 1{,}88\,\text{anni}\).

Prova tu

🪐 Un pianeta in orbita ellittica

Cambia il semiasse e l'eccentricità: osserva la forma dell'orbita e nota come il pianeta acceleri al perielio (settore azzurro = area spazzata in un tempo fisso, sempre uguale \(\to \) 2ª legge).

Sole (fuoco) velocità area spazzata
2ª legge in azione
🪐 Carica
  • — pianeta reale —
  • Mercurio (\(a=0{,}39\), \(e=0{,}21\))
  • Venere (\(a=0{,}72\), \(e=0{,}01\))
  • Terra (\(a=1{,}00\), \(e=0{,}02\))
  • Marte (\(a=1{,}52\), \(e=0{,}09\))
  • Giove (\(a=5{,}20\), \(e=0{,}05\))
  • Saturno (\(a=9{,}54\), \(e=0{,}05\))
  • Cometa (orbita molto eccentrica)
Perielio—
Afelio—
Periodo \(T\)—
\(v\) perielio—
\(v\) afelio—
\(v_{\text{p}}/v_{\text{a}}\)—
✓ \(T^{2} = a^{3}\) (con \(a\) in UA, \(T\) in anni)

Teoria

🍎 La legge di gravitazione universale

Newton (1687) capì che la forza che fa cadere una mela è la stessa che tiene la Luna in orbita. Due corpi qualsiasi di massa \(m_{1}\) e \(m_{2}\) si attraggono con una forza diretta lungo la loro congiungente:

F = G · (m₁ · m₂) / r²

dove r è la distanza fra i centri e G la costante di gravitazione universale:

G = 6,674 · 10⁻¹¹ N·m² / kg²

Proprietà

  • Sempre attrattiva e diretta lungo la congiungente dei centri.
  • Proporzionale al prodotto delle masse.
  • Inversamente proporzionale al quadrato della distanza: se \(r\) raddoppia, \(F\) diventa un quarto.
  • Obbedisce al 3° principio: i due corpi si attraggono con forze uguali e opposte (anche Terra–mela!).
🌗 Il test della Luna. Newton verificò che l'accelerazione della Luna verso la Terra è circa \(1/3600\) di \(g\). Poiché la Luna dista \(\approx 60\) raggi terrestri e \(60^{2} = 3600\), l'andamento \(1/r^{2}\) tornava: la prova che era la stessa forza.
⚠️ La formula vale per masse puntiformi o per corpi a simmetria sferica (come stelle e pianeti), considerando la massa concentrata nel centro.

Prova tu

⚖️ Due masse che si attraggono

Imposta le masse e la distanza iniziale, poi guarda il corpo piccolo cadere verso quello grande: più si avvicina, più la forza (e quindi l'accelerazione) cresce — è l'effetto \(1/r^{2}\).

Forza F corpo in caduta
caduta libera radiale
Forza \(F\)—
\(a\) su \(m_{2}\)—
\(F\) a \(2r\)—
\(F\) a \(r/2\)—
\(F = G\cdot M_{1}\cdot m_{2}/r^{2}\)

Teoria

🌍 Il campo gravitazionale e g

Invece di pensare a una forza "a distanza", possiamo dire che una massa \(M\) crea attorno a sé un campo gravitazionale: ogni punto dello spazio acquista una proprietà, l'intensità del campo \(g\), cioè la forza per unità di massa che vi sentirebbe un corpo:

g = F / m = G · M / r²

\(g\) si misura in \(\mathrm{N/kg}\) (\(= \mathrm{m/s^{2}}\)): è anche l'accelerazione di gravità che subisce un corpo lasciato libero. Sulla superficie di un pianeta di raggio \(R\):

gsup = G · M / R²

Per la Terra: \(g = G\cdot M_{\text{T}}/R_{\text{T}}^{2} \approx 9{,}81\,\text{m/s}^{2}\). Notiamo che non dipende dalla massa del corpo che cade: per questo tutti i corpi cadono con la stessa accelerazione (Galileo).

Variazione con la quota

Salendo a quota \(h\), la distanza dal centro diventa \(R + h\) e il campo diminuisce con \(1/r^{2}\):

g(h) = G · M / (R + h)²
🛰️ Sulla ISS (\(h \approx 400\,\text{km}\)) \(g\) vale ancora \(\approx 8{,}7\,\text{m/s}^{2}\), circa l'\(89\%\) del valore al suolo! Gli astronauti non sono "senza gravità": sono in caduta libera continua attorno alla Terra.

Prova tu

📉 Come varia g

Costruisci un pianeta cambiandone massa e raggio, poi solleva il punto di prova: leggi \(g\) in superficie e in quota e osserva la curva \(g(r)\) decrescere come \(1/r^{2}\). Il puntino blu cade con l'accelerazione locale.

campo g corpo in caduta
caduta a quota variabile
🌍 Carica
  • — corpo reale —
  • Terra (\(g \approx 9{,}8\))
  • Luna (\(g \approx 1{,}6\))
  • Mercurio (\(g \approx 3{,}7\))
  • Venere (\(g \approx 8{,}9\))
  • Marte (\(g \approx 3{,}7\))
  • Giove (\(g \approx 24{,}8\))
\(g\) superficie—
\(g\) a quota \(h\)—
\(g/g\) superf.—
peso di \(1\,\text{kg}\)—
✓ \(g = G\cdot M/r^{2}\)

Teoria

🚀 Energia potenziale gravitazionale e velocità di fuga

Sollevare un corpo costa energia. Vicino al suolo usiamo U = mgh, ma è solo un'approssimazione valida per piccole quote. La formula generale, ponendo lo zero all'infinito, è:

U = − G · M · m / r

L'energia potenziale è negativa: il corpo è "legato" al pianeta in una buca di potenziale e per liberarlo (portarlo a r \(\to \infty \), dove U = 0) bisogna fornire energia.

Energia meccanica totale

E = K + U = ½ m v² − G M m / r
  • \(E < 0\) \(\to\) orbita legata (ellittica/circolare): il corpo non sfugge.
  • \(E = 0\) \(\to\) traiettoria parabolica: caso limite di fuga.
  • \(E > 0\) \(\to\) traiettoria iperbolica: il corpo sfugge con velocità residua.

Velocità di fuga

È la velocità minima per allontanarsi indefinitamente (\(E = 0\)) partendo dalla superficie. Da \(\tfrac12 m v^{2} = GMm/R\):

vfuga = √( 2 G M / R )
🌍 Per la Terra \(v_{\text{fuga}} \approx 11{,}2\,\text{km/s}\); per la Luna solo \(\approx 2{,}4\,\text{km/s}\) (per questo non trattiene un'atmosfera). Notare: non dipende dalla massa del corpo lanciato.

Prova tu

🎯 Sfuggi alla gravità

Lancia un proiettile verticalmente regolando la velocità iniziale. Se è minore di \(v_{\text{fuga}}\) ricade; se la raggiunge, sfugge. La curva mostra \(U(r)\) e la retta l'energia totale \(E\).

U(r) energia E proiettile
—
🚀 Carica
  • — corpo reale —
  • Terra (\(v_{\text{fuga}} \approx 11{,}2\,\text{km/s}\))
  • Luna (\(v_{\text{fuga}} \approx 2{,}4\,\text{km/s}\))
  • Mercurio (\(v_{\text{fuga}} \approx 4{,}3\,\text{km/s}\))
  • Venere (\(v_{\text{fuga}} \approx 10{,}4\,\text{km/s}\))
  • Marte (\(v_{\text{fuga}} \approx 5{,}0\,\text{km/s}\))
  • Giove (\(v_{\text{fuga}} \approx 60\,\text{km/s}\))
\(v\) fuga—
\(K\) iniziale—
\(U\) superficie—
\(E\) totale—
—

Teoria

🛰️ Satelliti e moto orbitale

Un satellite in orbita circolare è un corpo in caduta libera permanente: la forza di gravità fa da forza centripeta che lo mantiene sulla circonferenza. Uguagliando le due:

G · M · m / r² = m · v² / r

La massa \(m\) del satellite si semplifica e si ricava la velocità orbitale:

vorb = √( G M / r )

Più l'orbita è bassa (\(r\) piccolo), più il satellite deve andare veloce. Il periodo di rivoluzione si ottiene da \(v = 2\pi r/T\):

T = 2π · √( r³ / G M )

che è esattamente la 3ª legge di Keplero (\(T^{2} \propto r^{3}\)): la dinamica di Newton spiega le leggi empiriche di Keplero!

Energia di un'orbita circolare

L'energia meccanica totale è la somma di quella cinetica \(K\) e potenziale \(U\): \(E = K + U\). Ricaviamo i due termini.

1. L'energia cinetica è \(K = \tfrac{1}{2}m v^{2}\); ma per l'orbita circolare abbiamo appena trovato \(v^{2} = GM/r\), quindi:

K = ½ m v² = ½ m · (G M / r) = G M m / (2 r)

2. L'energia potenziale gravitazionale (con lo zero all'infinito) è:

U = − G M m / r

3. Sommando e riducendo a denominatore comune \(2r\):

E = K + U = G M m/(2r) − G M m/r = G M m/(2r) − 2 G M m/(2r) = − G M m / (2 r)
💡 Relazioni notevoli: \(K = -E\) (positiva) e \(U = 2E\) (negativa), cioè \(E = -K = \tfrac{1}{2}U\). L'energia totale è negativa: l'orbita è legata, e per liberare il satellite (portarlo a \(E = 0\)) occorre fornirgli energia.
📡 L'orbita geostazionaria ha periodo \(T = 24\,\text{h}\): il satellite resta sopra lo stesso punto dell'equatore. Si trova a \(r \approx 42\,200\,\text{km}\) dal centro (quota \(\approx 35\,800\,\text{km}\)). La ISS, molto più bassa (\(\approx 400\,\text{km}\)), orbita in \(\approx 92\,\text{minuti}\) a \(\approx 7{,}7\,\text{km/s}\).

Prova tu

🌐 Metti un satellite in orbita

Cambia la quota dell'orbita attorno alla Terra: leggi come variano velocità e periodo. Le orbite basse sono veloci e con periodo breve; cerca la quota geostazionaria (\(T \approx 24\,\text{h}\)).

satellite velocità
orbita circolare
🛰️ Carica
  • — satellite reale —
  • ISS (\(\approx 400\,\text{km}\))
  • Telescopio Hubble (\(\approx 540\,\text{km}\))
  • GPS (\(\approx 20\,200\,\text{km}\))
  • Geostazionario (\(\approx 35\,786\,\text{km}\))
Raggio orbita—
\(v\) orbitale—
Periodo \(T\)—
Tipo—
—

🏆 Quiz Riepilogativo Finale

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